Так как тре­уголь­ни­ки ABC и BDC рав­но­бед­рен­ные, то их вы­со­ты AM и DM од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся и ме­ди­а­на­ми по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда точка M, се­ре­ди­на сто­ро­ны BC, общая для AM и DM.

Рас­смот­рим угол между плос­ко­стя­ми ABC и BDC: Тогда угол AMD яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ADM:

Так как AMD  — один из углов тре­уголь­ни­ка, то он по­ло­жи­те­лен и не пре­вос­хо­дит зна­чит, Тогда гра­дус­ная мера угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC равна

Ответ:

Так как тре­уголь­ни­ки ABC и BDC рав­но­бед­рен­ные, то их вы­со­ты AM и DM од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся и ме­ди­а­на­ми по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда точка M, се­ре­ди­на сто­ро­ны BC, общая для AM и DM.

Рас­смот­рим угол между плос­ко­стя­ми ABC и BDC: Тогда угол AMD яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC.

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ADM:

Так как AMD  — один из углов тре­уголь­ни­ка, то он по­ло­жи­те­лен и не пре­вос­хо­дит зна­чит, Тогда гра­дус­ная мера угла между плос­ко­стя­ми ABC и BDC равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CAA₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен a см, тогда и так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность пра­виль­ный тре­уголь­ник. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что

то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PC, от­ку­да и равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMB: от­ку­да

Ответ:

Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен тогда и так как ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — впи­сан­ный в окруж­ность квад­рат. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что то есть, грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Пусть точка M  — се­ре­ди­на ребра PD, от­ку­да и равен углу между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMC:

Ответ:

На от­рез­ке CD от­ло­жим от­ре­зок CE, рав­ный от­рез­ку BC. Тогда тре­уголь­ни­ки BMC и EMC равны, угол EMD = 60°, так как угол CEM внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка EMD. Из тре­уголь­ни­ка EMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов по­лу­чим ED = 7 см, тогда

Ответ: см, см.

По опре­де­ле­нию тан­ген­са в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках MBC и MCD:

По фор­му­ле тан­ген­са двой­но­го угла имеем: Тогда см и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 12 см, 8 см.

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

Зна­чит, одна из его диа­го­на­лей равна а дру­гая

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда от­ку­да то есть Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

Ответ: 240.